O muro e os tijolos

Regra de Três

Um muro de 12 metros, foi construído utilizando 2160 tijolos. Caso se queira construir um muro de 30 metros nas mesmas condições do anterior, quantos tijolos serão utilizados?

a)5400

b)5300

c)5200

d)5100

e)5050

Resposta:

12 m---------2160 tijolos

30m--------- x

temos que as grandezas são diretamente proporcionais,logo vem:
x = 30 .2160 / 12
x = 5400 tijolos
letra a).

O suco e a laranjeira

Problema Com Medidas

Uma laranja produz 100 cm³ de suco e uma laranjeira produz 30 duzias de laranjas. quantos litros de suco produz uma laranjeira?

a)76

b)66

c)56

d)46

e)36

Resposta:

30 dúzias = 30x12 = 360 laranjas
360 laranjas produzem 360x100 = 36000 cm³ de suco,daí temos que:
um litro é igual a um decímetro cúbico(dm³)
36000cm³ = 36dm³,assim vem:
36dm³ = 36 litros
letra e).

O valor arrecadado

Problema Envolvendo As Quatro Operações
Em um parque ecológico da cidade de Floresta Negra,o ingresso para visitação custa R$ 5,00 e crianças menores de 10 anos não pagam. Em um domingo, cerca de 2.550 pessoas visitaram esse parque, e as bilheterias arrecadaram a importância de R$ 5.500,00. Se o número de crianças com menos de 10 anos,tivesse pago metade do valor do ingresso, nesse dia o parque teria arrecadado:
a)R$9125,00
b)R$9025,00
c)R$9005,00
d)R$8125,00
e)R$8025,00


Resposta:

R$5.500,00 / R$5,00 = 1.100 pessoas pagantes
2.550 pessoas - 1.100 pagantes = 1.450 menores de 10 anos
1450 . R$2,50 = R$3625,00
logo vem:
R$5500,00 + R$3625,00 = R$9125,00
letra a).

Aranhas e joaninhas

Sistema de Equações

Um estudante apanhou aranhas e joaninhas num total de 15, e as guardou numa caixa. Contou em seguida 108 patas. Quantas aranhas ele apanhou? (obs:aranha tem 8 patas e joaninha 6)

a)5

b)6

c)7

d)8

e)9

Resposta:

A------- aranha
J--------joaninha
[A + J = 15
[8A + 6J = 108,logo vem:

8A - 8J = 120
8A + 6J = 108
2J = 12
J = 6,assim temos:

A = 15 - J
A = 15 - 6
A  = 9
letra e).

A soma dos dois números

Sistema de Equações

A diferença entre dois números é 3. O maior é 3/2 do menor. A soma desses dois números é:

a)21

b)divisível por 2

c)19

d)divisível por 7

e)15

Resposta:

[x - y = 3
[x = 3y/2,logo vem:

2x = 3y
[2x - 3y = 0
[2x - 2y = 6

y = 6,assim temos:
x = 3 . 6/2
x  = 9
9 + 6 = 15
letra e).

Preço da calça e da camisa

Sistema de Eqauções

Quatro camisetas e cinco calças custam R$105,00.Cinco camisetas e sete calças custam R$138,00.Ao comprar uma calça e uma camiseta,o comprador pagou em Reais:

a)24,00

b)18,00

c)15,00

d)12,00

e)9,00

Resposta:

camiseta --->x
calças----> y
[4x + 5y = 105
[5x + 7y = 138 ,daí vem:

[20x + 25y = 525
[20x + 28y = 552

3y = 27
y = 9,assim temos:
4x + 5.9 = 105
4x  + 45 = 105
4x = 105 - 45
4x = 60
x = 15,logo:
9 + 15 = 24
letra a).

Operando com fração

Percentagem

Na agência de empregos MEU NOME É TRABALHO, 32% dos cadastrados são homens e 68% dos cadastrados são mulheres. Sabendo-se que 5/8 dos homens são casados e 10/17 das mulheres também; a fração em que o numerador é o número de casados e o denominador é o total de cadastrados nesta agência, é equivalente a:

a)4/25

b)4/15

c)1/2

d)4/5

e)3/5

Resposta:

total de cadastrados = 100%
homems casados = 5/8 de 32% = 20%
mulheres casadas = 10/17 de 68% = 40%
total de casados = 20% + 40% = 60%,logo vem:
total de casados / total cadastrado
60 / 100 =
6 / 10 =
3 / 5
letra e).

Soma das raizes do polinômio

Polinômios

O polinomio P(x), de grau 3 e coeficientes reais, admite 1 + i e 2 como raizes. O produto de suas raizes vale:

a) 2+2i

b) 2-2i

c) -4

d) 2

e) 4

Resposta:

se 1 + i é raiz, então 1 - i também é raiz,logo vem:
2 . (1 + i) . (1 - i) =
2 . (1 - i²) =
2 . (1 - (- 1)) =
2 . (1 + 1) =
2 . 2 = 4
letra e).

O produto e a soma

Equação Polinomial

Se, a, b e c são raizes da equação 3x³ - 5x² + 5x - 2 = 0, então a+b+c / abc é igual a:

a)0,4

b)1,0

c)1,3

d)2,5

e)3,0

Resposta:

por Girard,temos que:
a + b + c = 5/3 e abc = 2/3,logo:
 (a + b + c) / abc =
(5/3)/(2/3) =
5/2 = 2,5
letra d).

Coeficiente real

Polinômio

Se o polinomio P(x) = x³ + ax² + bx + c tem coeficientes reais e admite 1 e 1+i como raizes,quanto vale b?

a)0

b)1

c)2

d)3

e)4

Resposta:

se 1+i é raiz ,então 1-i também é,desta  forma por Girard,temos que:
a soma dos produtos 2 a 2 das raízes é igual a b,logo vem:
1.(1 + i) + 1.(1 - i) + (1 + i).(1 - i) = b
1 + i + 1 - i + 1 - i² = b
3 - (- 1) = b
b = 3 + 1
b = 4
letra e).

Soma das raizes

Equação polinomial do 3º Grau

Sabendo que 1 é raiz da equação polinomial 3x³ - 13x² + 13x -3 = 0, o quadrado da soma das raizes vale:
a)1/169
b)25/9
c)9/169
d)169/9
e)169/25

Resposta:

pela relação de Girard temos que em:
ax³ + bx² + cx + d = 0
a soma de todas as raizes é -b/a.logo vem:
S = -b/a
S = -(-13) / 3
S = 13 / 3,desta forma:
S² = (13 / 3)²
S² = 169 / 9
letra d).

Operando com medidas

Sistema de Equações

Um tábua foi dividida em duas partes na razão de 2/5.A diferença entre as medidas das duas partes é 30 cm.A medida da parte maior,é:
a)75m
b)50m
c)55m
d)2,5m
e)0,5m

Resposta:

a/b = 2/5
a = 2b/5
b - a = 30 cm,logo vem:
b - 2b/5 = 30
5b - 2b = 150
3b =150
b = 50 cm
a = 20 cm,assim temos:
b = 50 cm,então:
b = 0,5m
letra e).

Composição de funções

Função Composta
Sejam as funções reais definidas por f(x) = x² - 1 e g(x) = 1/x. Então, f(g(-1)) é igual à:
a) -4
b) -3
c) -2
d) -1
e) 0

Resposta:

g(-1) = 1/-1
g(-1) = -1 ,logo vem:
f(g(-1)) = (-1)² -1
f(g(-1)) = 0
letra e).

O rendimento da aplicação

Juros compostos

Qual o montante que rende um capital de R$ 400,00, aplicado por 1 ano e seis meses, a taxa de juros compostos de 3% ao trimestre?
a)R$77,62
b)R$177,62
c)R$277,62
d)R$377,62
e)R$477,62


Resposta:


M = C (1 + i)^t
M = Montante
C = Capital
i = Taxa = 3% = 0,03
t = Período
1 ano e 6 meses = 18 meses
18 meses = 6 trimestres,logo vem:
M = 400. (1 + 0,03)⁶
M = 400 . 1,03⁶
M = 400 . 1,19405
M = 477,62
letra e).

 

O valor total da verba

Sistema de Equações

Uma verba governamental, para fins filantrópicos, foi totalmente repartida entre as instituições A e B, de forma que A recebeu uma quantia igual a 7/5 da quantia que B recebeu. Se a diferença entre a maior e a menor quantia recebidas foi igual a R$ 25.000,00, então o valor total dessa verba era

a) R$ 130.000,00

b) R$ 140.000,00

c) R$ 145.000,00

d) R$ 150.000,00

e) R$ 155.000,00

Resposta:

A = 7/5.B

A - B = 25000 ,logo vem:
A - B = 25000
7/5.B - B = 25000
(7B - 5B)/5 = 25000 
2B/5 = 25000
2B = 25000 . 5
2B = 125000
B = 125000/2
B = 62500,desta forma temos:

A = 7/5. B
A = 62500.7/5
A = 87500,logo: 
A + B =
87500 + 62500
A + B = 150.000,00
letra d).

A fatura da loja

Percentagem

(PUC - SP)Certa loja colocou a venda um estoque de 800 calças jeans femininas. No primeiro mês, cada uma foi vendida a R$60.00, no mês seguinte, o preço da calça baixou 10% e, com isso, a loja vendeu o restante do estoque. Sabendo-se que a loja faturou R$45.000,00 com a venda dessas 800 calças, pode-se afirmar que o número de calças vendidas no segundo mês foi:

a)200

b)300

c)400

d)450

e)500

Resposta:

Preço da calça após a redução de 10%:
Pc = 90/100 . 60
Pc = 0,9 . 60
Pc = 54
Faturamento:
45.000 = 60x + (800 - x)54
45.000 = 60x + 43.200 - 54x
45.000 - 43.200 = 6x
1.800 = 6x
x = 1.800 / 6
x = 300
logo no segundo mês, vendeu:
800 - x = 800 - 300
800 - x = 500 calças.
letra e).

Medindo a circunferência

Geometria

O comprimento de uma circunferência que tem 43,5 cm de raio,é:

a)2,7318 mm

b)27,318 mm

c)273,18 mm

d)2731,8 mm

e)27318 mm

Resposta:

C = 2 . π . r
C = 2 . 3,14 . 43,5
C = 6,28 . 43,5 
C = 273,18 cm 
C = 27318 mm
letra e).

A soma das idades

Sistema de Equações

 Há 2 anos, a idade de Henrique era o triplo da idade de João.Daqui a 4 anos, a idade de Henrique será o dobro da idade de João. A soma das idades deles hoje é:

a)68 anos

b)58 anos

c)48 anos

d)38 anos

e)28 anos

Resposta:

H------->Henrique

J-------->João

Há 2 anos, tínhamos :

H - 2 = 3(J - 2)
H - 2 = 3J - 6
H - 3J = - 6 + 2
 H - 3J = - 4 


daqui a 4 anos, vamos ter:

H + 4 = 2(J + 4)
 H +4 = 2J + 8
H - 2J = 8 - 4
 H - 2J = 4 ,logo temos:
[H - 3J = - 4
[H - 2J = 4

[H - 3J = - 4
[-H + 2J = - 4 -J = -8
J = 8
logo vem:

H - 2J = 4, assim,
H - 2∙(8) = 4

 H -16 = 4
 H = 4 + 16
 H = 20
assim: 8 + 20 = 28

letra e).

Os termos em P.G

Progressão Geométrica

O valor,positivo, de x, para que os termos (x + 2), (3 x + 2) e (4 x +8),nessa ordem,estejam em P.G,é:

a)múltiplo de 7

b)divisível por 5

c)a metade de 13

d)um número ímpar

e)um número primo

Resposta:

3 x + 2 / x + 2 = 4 x + 8 / 3 x + 2
(3 x + 2) (3 x + 2) = (x + 2) (4 x + 8)
9 x² + 6 x + 6 x + 4 = 4 x² + 8 x + 8 x + 16
9 x² + 12 x + 4 = 4 x² + 16x + 16
5x² - 4x - 12 = 0
x' = 2
x" = -6/5.

letra e).

Operando com velocidade

Medidas

O valor,em km/h, da metade de 15 m/s,é:

a)216

b)108

c)54

d)27

e)7,5

Resposta:

15 m/s x 3.6 =  54 km/h 

54 km/h / 2 = 27 km/h

letra d).

Composição de função

Função Composta

Dada a função f(x) = x² – 2x + 1, então o valor de h de modo que f(h+3) = 0,é:

a)3

b)2

c)1

d)-1

e)-2

Resposta:

f(x) = x² - 2x + 1
f(h + 3) = (h + 3)² - 2 . (h + 3) + 1
(h + 3)² - 2 . (h + 3) + 1 = 0
h² + 6h + 9 - 2h - 6 + 1 = 0
h² + 4h + 4 = 0
h' = h'' = -2

letra e).

O reajuste no custo de produção

Percentagem
O custo de produção de uma peça é composto por: 30% para mão de obra, 50% para matéria prima e 20% para energia. Admitindo que haja um reajuste de 20% no preço de mão de obra, 35% no preço de matéria prima e 5% no preço da energia elétrica, o custo de produção sofrerá um reajuste de:
a)20,5%
b)21,5%
c)22,5%
d)23,5)
e)24,5%

Resposta:


Supondo que o custo de produção seja R$100,00, temos:
mão de obra: R$30,00
matéria prima :R$50,00
energia: R$20,00,logo temos:
para a mão  de obra: R$30,00 . 120/100  = R$36,00
para a matéria  prima :R$50,00 .135/100  = R$67,50
para a energia :R$20,00. 105/100 = R$21,00,então temos um aumento de R$ 24,50

isto equivale à 24,5% de reajuste em relação ao custo de produção(R$100,00) inicial.

letra e).

 

Calculando o determinante

Determinante

o determinante da matriz abaixo:

[cosx ......-senx]

[2senx....2cosx],é:

a)4

b)3

c)2

d)1

e)0

Resposta:

det = cosx.2cosx - [2senx.(-senx)]

det = 2cos²x - [-2sen²x] 
det = 2cos²x + 2sen²x 
det = 2sen²x + 2cos²x
det = 2.(sen²x + cos²x),mas sen²x + cos²x = 1
daí vem:
det = 2.(1)
det = 2
letra c).

Descobrindo o intervalo

Inequação

A soma da terça parte de um número com seu dobro é maior que 7. Então esse número pode ser:

a)-3

b)-2

c)0

d)3

e)4

Resposta:

x/3 + 2x > 7
x + 6x > 21
7x > 21
x > 3
letra e).

O quociente das raízes

Sistema de Equações

No sistema abaixo,

{2x + 3y = 13

{5x - 2y  =  3,o valor de y / x,é:

a)19/35

b)57/17

c)995/363

d)3063/1695

e)1125/665

Resposta:

{2x + 3y = 13 

{5x - 2y = 3 

{4x + 6y = 26 
{15x - 6y = 9,daí vem: 
19x = 35
x = 35/19,assim calculando y,temos:
2x + 3y = 13
2 . 35/19 + 3y = 13
70/19 + 3y = 13 
70 + 57y = 247
57y = 247 - 70
57y = 177
y = 177 / 57,logo vem:
y / x = (177/57) : (35/19)
y / x = 1125/665
letra e).

Valor inicial da dívida

Percentagem

Uma pessoa pagou 20% de uma divida. Se R$4.368,00 corresponde a 35% do restante a ser pago , então a divida total inicial era,em Reais de:

a)12480

b)13360

c)13870

d)14700

e)15600

Resposta:

35% . x = 4368
x = 12480,logo temos :
80%-------------12480

20%----------------x

x = 20 . 12480 / 80
x = 12480 / 4
x = 3120,assim temos:
12480 + 3120 = 15600 letra e).

Número menor que 10

Inequação

O triplo de um número mais 5 é menor que 10.Esse número pode ser:

a)2,6

b)2,5

c)2,4

d)1,6

e)1,3

Resposta:

3x + 5 < 10,daí vem:
3x < 10 - 5
3x < 5
x < 5/3
x < 1.666....
letra e).

O percentual de água que falta

Percentagem

Para encher 1/5 de um reservatório foram necessários 120 litros de água. A percentagem de água que falta para encher o reservatório todo,é:

a)60%

b)65%

c)70%

d)75%

e)80% 

Resposta:

1/5x = 120
 x = 600 litros,daí temos:
5/5 - 1/5 = 4/5
então, 4/5 . 600 = 480 litros,assim vem:
4 . 20 / 5 . 20 = 80 / 100
letra e).

Fração do líquido que sobrou

Problema Com Fração

Tomei no almoço a metade de uma garrafa de refrigerante e no jantar tomei a metade do que sobrou.A fração do líquido que sobrou na garrafa após o jantar,foi:

a)1/8

b)1/7

c)1/6

d)1/5

e)1/4

Resposta:

1 - 1/2 = 1/2, e
1/2 : 2 = 1/4,logo temos:
1/2 + 1/4 = 3/4,assim de todo refrigerante tomei 3/4 ,daí temos:
4/4 - 3/4 = 1/4
sobrou na garrafa após o jantar 1/4 do refrigerante
letra e).

A aplicação e o resgate

Juros Simples

Apliquei R$ 1.200,00 a uma taxa de 2% ao mês na modalidade de juros simples; depois de 1,5 anos quanto resgatarei?

a)R$ 1.632,00

b)R$ 1.713,90

c)R$ 1.974,00

d)R$ 1.975,00

e)R$ 1.986,00

Resposta:

J = C.i .t
onde: C é o capital inicial,
i é a taxa de juros
t é o tempo

C = 1200
i = 0.02 (2% = 2/100 = 0.02)
t = 18 (1,5 anos = 18 meses),log vem: 
J = 1200 . 0.02 .18
J = 24 . 18
J = 432,desta forma, o montante a resgatar será:
1200 + 432
M  = R$ 1632,00
letra a).

Número subtraído de seu triplo

Problema do 2º Grau

O quadrado de um número natural, quando subtraído do seu triplo, é igual ao dobro da soma desse número com o número 12. O valor da metade desse número é:

a)8

b)7

c)6

d)5

e)4

Resposta:

x² - 3x = 2(x + 12)
queremos saber quem é x / 2,logo temos:
x² -3x -2x - 24 = 0
x² - 5x - 24 = 0
x' = 8
x'' = -3 (não convém),assim vem:
x / 2 implica em:
8 / 2 = 4
letra e).

Achando o décimo termo

Progressão Aritmética

Em uma P.A, o sexto termo é o triplo do segundo.Qual é o seu décimo termo, sabendo que a soma do terceiro com o quinto é 40?

a)85

b)70

c)65

d)55

e)50

Resposta:

[a6 = 3. a2

[a3 + a5 = 40

a1 + 5r = 3 ( a1 + r)
a1 + 2r + a1 + 4r = 40,assim temos:

[- 2 a1 + 2r = 0 (1)
[2a1 + 6r = 40 (2)

8r = 40
r = 5,logo vem:

2a1 + 30 = 40
2a1 = 10
a1 = 5,daí temos:
a10 = a1 + 9r
a10 = 5 + 9.5
a10 = 5 + 45
a10 = 50
letra e).

Largura do tapete

Geometria Plana

A área de um tapete retangular cujo comprimento tem 3 m a mais que a largura é 10m². Sua largura, em metros é:

a)5

b)4

c)3

d)2

e)1

Resposta:

x largura
x + 3 comprimento
daí vem:
x . (x+3) = 10

x² + 3x - 10 = 0 
x' = -5 (não convém)
x'' = 4/2
x'' = 2
letra d). 

A quilometragem total

Problema Com Fração

Um veículo rodou,no primeiro dia de uma viagem,3/5 do percurso total.No segundo dia,2/3 do que faltava.Se após os dois dias ainda faltavam 600km para completar o percurso ,de quantos quilômetros era o percurso total?

a)6500

b)6000

c)5500

d)5000

e)4500

Resposta:

1º dia ----> 5/5 - 3/5 = 2/5 (faltava no 1º dia)

2º dia-----> 2/3 de 2/5 =4/15  (2/3 do que faltava)

3/5 + 4/15
mmc (5,15) = 15
9/15 + 4/15 = 13/15  (fração que rodou)
15/15 - 13/15 = 2/15 ( fração que faltava)
logo temos: 
2/15 = 600/x
2x = 9000
x = 4.500km
letra e).

Total de peças produzidas

Regra de Três

24 máquinas fazem um determinado número de peças. Certo dia 4 máquinas quebram; as restantes, então, têm de produzir 30 peças a mais para totalizar o número de peças que fariam com todas as máquinas funcionando.Qual o total de peças produzidas?

a)380

b)300

c)280

d)200

e)180

Resposta:

máquinas <---------> peças

24            <----------> x

20             <---------->x – 30

logo temos:
24x - 720 = 20x
4x = 720
x = 180 peças
letra e).

Somando com seu inverso

Equação do 2º Grau

Somando um número positivo e inteiro com seu inverso obtemos 26/5.Esse número é:

a)1/4

b)1/3

c)1/2

d)4

e)5

Resposta:

x + 1/x = 26/5
5x² + 5 = 26x
5x² - 26x + 5 = 0,.logo temos:
x’ = 5
x’’ = 0,2
letra e).

Descobrindo termos da P.G

Progressão Geométrica

Numa P.G. tem-se a1 = 3 e a8 = 384. A razão e o terceiro termo dela ,são respectivamente:

a)2 e 12

b)12 e 2

c)3 e 9

d)9 e 3

e)2 e 9

Resposta:

a8 = a1 . q⁷

384 = 3 . q⁷
128 = q⁷
2⁷ = q⁷
q = 2
logo vem:
a3 = a1.q²
a3 = 3. 4
a3 = 12
letra a).

Propriedade da P.A

Progressão Aritmética

Se ( 3x-2,2x-1,2x-5) é uma progressão aritmética ,qual o valor de sua razão?

a)5

b)4

c)3

d)-5

e)-4

Resposta:

2x -1 - (3x - 2) = 2x - 5 - (2x -1)

logo x = 5
se x = 5,então a razão é -4
pois a P.A é (13, 9 ,5)
letra e).

Trabalhando com horas

Problema Com Horas
Ao efetuar essa operação 9h 5min 50s - 5h 18min 50s,encontra-se:
a)4h 48min
b)4h 45min
c)3h 48min
d)3h 48min 02s
e)3h 47min

Resposta:

9h 5min 50 s = 8h 65min 50 s.logo vem:
8h 65min 50s,menos
5h 18min 50s
____________
3h 47 min
letra e).

Trabalhando com horas

Problema Com Horas
Ao efetuar essa operação 20h 10min - 16h 40min 10s ,encontra-se:
a)4h 20min 50s
b)4h 15min 50s

c)3h 20min 50s

d)3h 20min 10s
e)3h 29min 50s

Resposta:

19h 70min 00s
19h 69min 60s,menos
16h 40min 10s
________________
19h 69 min 60s - 16h 40 min 10 s = 3h 29 min 50s
letra e).

Valores equivalentes

Percentagem

O triplo do valor de x na equação 1/3 - x/2 = 1/4,equivale à:

a)0,16%

b)0,25%

c)0,30%

d)40%

e)50%

Resposta:

1/3 - x/2 = 1/4
mmc (3,2,4) = 12

4 - 6x = 3
-6x = 3 - 4
-6x=-1
6x =1
x = 1/6
logo, 3 . 1/6 = 3/6
3/6 = 1/2
1/2 = 5/10
5/10 = 50%
letra e).

A idade do mais velho

Equação do 1º Grau

As idades de três irmãos somam 99 anos. Sabendo-se que o mais jovem tem um terço da idade do mais velho e o segundo irmão tem a metade da idade do mais velho, qual a idade do mais velho ?

a)18

b)19

c)23

d)54

e)57

Resposta:


irmãos:A, B e C 
idades: A = x, B = x/2 e C = x/3,logo:
x/3 + x/2 + x = 99 
(2x + 3x + 6x)/6 =  99 
11x/6 = 99 
11x = 6.99
11x = 594
x = 594/11
x = 54
letra d).

Os pacotes de cd´s

Máximo Divisor Comum

A matriz de uma loja de informática precisa atender aos pedidos das suas três filiais; as lojas A,B e C desejam receber, respectivamente, 189,243e135 cd´s  regraváveis. Os cd´s  devem ser empacotados de modo que todos os pacotes, enviados pela matriz, tenham a mesma quantidade de cd´s  e que ao mesmo tempo a quantidade de pacotes enviados pela matriz seja o menor possível. Então, serão.

a) 27 pacotes com 9 cd´s cada um

b) 21 pacotes com 27 cd´s cada um

c) 9 pacotes com 21 cd´s cada um

d) 33 pacotes com 27 cd´s cada um

e) 27 pacotes com 21 cd´s cada um

Resposta:

mdc(189,243,135) = 27 cd's logo:

189 = 7. 27
243 = 9. 27
135 = 5. 27,
assim a quantidade de pacotes é
7 + 9 + 5 = 21
letra b).
 

Tamanho da pista

Medida de Comprimento

A pista de atletismo de um clube tem 280 m de comprimento. Num final da semana, Joaquim deu 7 voltas nessa pista no Sábado, e 9 voltas no Domingo. Desta forma ele  percorreu:

a)44,8km

b)48km 

c)448km 

d)480km 

e)4,48km   Resposta:   280m por volta
16 Voltas no total 
280 x 16 = 4480
1km------------>1000m
xkm------------>4480m,logo temos:
1000x = 4480
x = 4480 / 1000
x = 4,48km
letra e).


     

Operando com expressão algébrica

Expressão Literal

Sendo a = 2, b = 1 e c = 2,então valor de (4b + 3c - a) + (4a - 3b - 2c),é:

a)13

b)12

c)11

d)10

e)9

Resposta:

4b + 3c - a + 4a - 3b - 2c =

3a + b + c
3.2 + 1 + 2
6 + 1 + 2 =
9
letra e).

Resolvendo expressão

Expressão Literal

O valor da expressão x²y + xy², em que xy = 12 e x + y = 8, é:

a)40

b)44

c)75

d)88

e)96

Resposta:

x²y + xy² =
xy(x + y) =
12 . 8 = 96
letra e).

Atribuindo valor às variáveis

Expressão Literal
Sendo x = 112 e y = 111,então o valor da expressão:
x^4 - y^4


--------------------- ,é:

x³ - x²y + xy² - y³
a)1
b)11
c)22
d)23
 e)223


 Resposta:  

(x² + y²).(x² - y²)


-------------------- =

x²(x - y) + y²(x - y)



(x²+y²).(x-y).(x+y)

------------------------ =

(x²+y²).(x-y)



(x+y) = (112+111)        
(x + y) = 223
letra e).

Problema envolvendo M.M.C

Mínimo Múltiplo Comum

Roberto costuma correr 5 quilômetros a cada dois dias, Eduardo costuma correr 5 quilômetros a cada 3 dias e Alexandre costuma correr 5 quilômetros a cada 4 dias. Se eles correram juntos 5 quilômetros hoje, daqui a quantos dias correrão juntos novamente?

a)12

b)11

c)10

d)9

e)8

Resposta:

M.M.C(2,3,4) = 12
letra a).

Operando com função quadrática

Função

Se f(x) = x² - 4,então o valor de f(1) - f(-1) é:

a)4

b)3

c)2

d)1

e)0

Resposta:


f(1) = 1² - 4
f(1) = 1 - 4
f(1) = -3 ,mas:
f(-1) = (-1)² - 4
f(-1) = 1 - 4
f(-1) = -3,logo vem:


f(1) - f(-1) = -3 - [(-3)]
f(1) - f(-1) = -3 + 3 = 0
letra e).

Encontrando o 23º termo

Progressão Aritmética

O 23º elemento da P.A de razão 3 em que a soma dos 30 termos iniciais é 255,é:

a)71

b)61

c)51

d)41

e)31

Resposta:

an = a1 + (n-1).r

an = a1 + (30-1).3
an = a1 + (29).3
an = a1 + 87,mas: 
Sn = (a1+an).n/2,logo vem:
255 = (a1 + a1+87).30/2
255 = (2a1+87).15
2a1+87 = 255/15
2a1+87 = 17
2a1 = 17-87
2a1 = -70
a1 = -35
a23 = -35 + (23-1).3
a23 = -35 + (22).3
a23 = -35 + 66
a23 = 31
letra e). 

A soma dos quinze termos

Progressão Aritmética

A soma do 15 primeiros termo da PA ( 8, 12, 16, ...),é:

a)140

b)240

c)340

d)440

e)540

Resposta:

r = 16-12 = 12-8
r = 4.

Sn = (a1 + an).n/2  
an = a1 + (n-1).r 
a15 = 8 + (15-1).4
a15 = 8 + (14).4
a15 = 8 + 56
a15 = 64,então vem: 
Sn = (a1 + an).n/2
S15 = (8 + 64).15/2
S15 = (72).15/2
S15 = 72.15/2
S15 = 36.15
S15 = 540
letra e).

A visita do recenseador

Regra de Três

Se 12 recenseadores visitam 1440 famílias em 5 dias de trabalho de 8 horas por dia, quantas famílias serão visitadas por 5 recenseadores, em 6 dias, trabalhando 4 horas por dia ?

a)260

b)360

c)370

d)380

e)385

Resposta:

12 recenseadores------1440 familias------40 horas,pois (5.8 = 40)



5 recenseadores--------x familias----------24h horas,pois (6.4 = 24)


recenseador e família,são diretamente proporcionias 
dias,horas e famílias também são diretamente proporcionais,logo vem:
1440/x = (12/5)(40/24)
1440/x = 4
x = 360 familias
letra b).

Calculando o montante

Juros compostos

Qual o montante gerado se aplicarmos R$100.000,00 a juros compostos durante 2 anos a uma taxa de 12.5% ao semestre?

a)R$160.180,66

b)R$156.170.55

c)R$160.170.66

d)R$156.180,55

e)R$166.155,77

Resposta:

2 anos = 4 semestres

M = C(1+i)^t
M = 100.000 (1,125)^4
M= 160.180,66
letra a).

Equação logarítmica

Logarítmo

A soma das raízes da equação  log² x - log (x^4) = 0,é:

a)101

b)1000

c)1001

d)1011

e)10001

Resposta:

log² x - 4.log x = 0

log x (log x - 4) = 0
log x = 0,então:
10^0 = x'
x' = 1
log x - 4 = 0
log x = 4,então:
10^4 = x"
x'' = 10.000,assim vem:
x' + x''
10.000 + 1 = 10.001
letra e).

Achando o valor desconhecido

Expressão numérica

O valor de y na expressão y = 160/3 - [4/5 + 18/12 - (3/2-6/5)],é:

a)164/3

b)163/3

c)157/3

d)155/3

e)154/3

Resposta:

y = 160/3 - [4/5 + 18/12 - (3/2 - 6/5)]

(3/2 - 6/5)
mmc = 10
(5.3 - 2.6)/10
(15 - 12)/10 = 3/10,logo vem:
y = 160/3 - [4/5 + 18/12 - (3/10)]
y = 160/3 - [4/5 + 18/12 - 3/10]
[4/5 + 18/12 - 3/10]
mmc = 60,então fica: 
[12.4 + 5.18 - 6.3]/60
[48 + 90 - 18]/60
[120]/60
120/60,logo vem:
y = 160/3 - [120/60]
y = 160/3 - 120/60
mmc = 60,então fica: 
y = (20.160 - 120)/60
y = (3.200 - 120)/60
y = 3.080/60   
y = 3.08/6 
y =154/3
letra e). 

Achando o valor de xis

Fatorial
O valor de x na equação  (x+1)! / x! = 5,é:
a)8
b)7
c)6
d)5
e)4

Resposta:

(x+1) . x! / x! = 5

(x+1) = 5
x = 5 - 1
x = 4
letra e).

Identidade trigonométrica

Trigonometria

Se x e y são números reais tais que

y = [sen x / ( 1 + sen x)] + [sen x / ( 1 - sen x )], então y é igual a:

a)2cos x . tg x

b)sen x . sec x

c)cotg x . 2sec x

d)2cossec x . sen x

e)2secx . tg x

Resposta:

y = senx / (1+senx) + senx / (1-senx)
mmc = (1+senx).(1-senx)

y = [(1-senx).senx + (1+senx).senx]/(1+senx).(1-senx)    
y = (senx-sen²x + senx+sen²x)/(1+senx).(1-senx)
y = (2senx)/(1+senx).(1-senx) 
y = 2senx/(1-sen²x),mas1 - sen²x = cos²x
y = 2senx/cos²x
y = 2senx/cosx.cosx
y = (2senx/cosx).1/cosx,mas 2senx/cosx = 2tgx; e 1/cosx = secx
y = 2tgx.secx 
y = 2secx.tgx
letra e).

Soma dos termos

Progressão

Numa progressão aritmética, o quarto e o sétimo termos são, respectivamente, 2 e -7. A soma dos vinte primeiros termos dessa progressão será:

a)-350

b)-479

c)400

d)500

e)600

Resposta:

an = a1 + (n-1) . r

-7 = 2 + (4 - 1) . r
-7 = 2 + 3.r
-7 -2 = 3.r
-9 = 3.r
r = -9 : 3
r = -3
para a1,temos:


-7 = a1 + (7 - 1) . (-3)
-7 = a1 + 6 . (-3)
-7 = a1 - 18
a1 = 18 - 7
a1 = 11


para a20,temos:
a20 = 11 + (20 - 1) . (-3)
a20 = 11 + 19 . (-3)
a20 = 11 - 57
a20 = -46
para somar os 20 termos,temos:
S = (a1 + an) . n / 2
S = (11 - 46) . 20 / 2
S = -35 . 20 / 2
S = -700 / 2
S = -350
letra a).

Quantidade de colares

Regra de três

Um grupo de jovens, em 16 dias, fabricam 320 colares de 1,20 m cada um. Quantos colares de 1,25 m serão fabricados em 5 dias ?

a)56

b)66

c)76

d)86

e)96

Resposta:

Dias---------- Colares------------ Tamanho



16 --------------320------------------- 1,20


5---------------- x ----------------------1,25,logo temos:


320/x = 16/5 . 1,25/1,20


320/x = 20/6
20x = 1920
x = 1920/20
x = 96
letra e).

Quando a função é decrescente

Função

O valor de m para que a função (-8m+4)x+2m seja decrescente,pode ser:

a)0,2

b)0,3

c)0,4

d)0,5

e)0,6

Resposta:

a função é do tipo ax + b = 0,logo o termo a é menor do que zero, assim ela é decrescente.
-8m+4 < 0

8m > 4
m > 4/8 
m > 1/2
letra e).

Descobrindo o desconto

Percentagem

Um fogão custava R$630,00 recebeu um desconto e ficou custando R$504,00.Quanto por cento foi o desconto?

a)35%

b)33%

c)30%

d)25%

e)20%

Resposta:

630 - 504 = 126,logo vem:



630.............100%


126................x,assim fica:


630x = 12600
x = 12600/630
x = 20
letra e).

Operando com horas

Horas

Minha hora de entrada,no emprego,é 10:46h e minha saida é 16:14h.Quantas horas eu passo no emprego?

a)1hora e 26 minutos

b)2horas e 28 minutos

c)3horas e 29 minutos

d)4horas e 28 minutos

e)5horas e 28 minutos

Resposta:

16:14



10:46


--------


mas,1 h = 60 minutos,logo subtraindo temos:


15:74


-10:46


--------


05:28
letra e).

Operando com médias

Média Aritmética

Uma empresa, antes de lançar um novo tipo de bebida, avaliou o resultado conforme o quadro abaixo:

CRITÉRIOS----PESOS-----NOTAS

sabor ______ 6 _______9,5

preço ______4 _______8,5

textura _____2 _______4,9

embalagem____3 _______5;9 ,a  Média Aritmética das notas,é:

a)3,2

b)4,3

c)5,2

d)6,3

e)7,2

Resposta:

(9,5 + 8,5 + 4,9 + 5,9) / 4 = 28,8 / 4 = 7,2
letra e).

Resolvendo inequação exponencial

Inequação

O valor de x na inequação (3/4)^(3x-2) ≥  (9/16) ,pode ser:

a)0,75

b)0,85

c)0,95

d)1

e)2

Resposta:

(9/16) = (3/4)²,então temos:

(3/4)^(3x-2) ≥(3/4)²
as bases são menores do que 1  , logo a comparação dos expoentes será feita com o sinal contrário ao da desigualdade. Assim vem:

3x - 2 ≤ 2
3x ≤ 2+2
3x ≤ 4
x  ≤ 3/4
x ≤ 0,75
letra a).

Inequação exponencial

Inequação

O valor de x na inequação (2/3)^(2+x)≥ (9/4)^(3x-1) ,pode ser:

a)0

b)1                                                        

c)2

d)3

e)-0,5

Resposta:

2/3)^(2+x) ≥(9/4)^(3x-1),mas (9/4) = (3/2)²

(2/3)^(2+x) ≥ (3/2)^(3x-1),mas (3/2) = (2/3)-¹
(2/3)^(2+x)≥[(2/3)-¹]^(3x-1)
(2/3)^(2+x)≥(2/3)^[-1.(3x-1)]
(2/3)^(2+x)≥(2/3)^(-3x+1)
2 -1≥-3x-x
1 ≥ -4x
-1≤ 4x
x ≤ -1/4
x ≤ - 0,25
letra e).    

Resolvendo inequação exponencial

Inequação

O valor de x na inequação  (1/2) elevado a 5x-1 > 1024,pode ser:

a)0

b)1

c)2

d)-1

e)-3

Resposta:

(1/2)^(5x+1) > 1.024,mas  1024 = 2¹º

(1/2)^(5x+1) > 2¹º , mas (1/2) = 2-¹
(2-¹)^(5x+1) > 2¹º
2^[-1.(5x+1)] > 2¹º
2^(-5x-1) > 2¹º
-5x-1 > 10
-5x > 10 + 1
-5x > 11 
5x < - 11
x < -11/5
x < - 2,2
letra e).

A compra das lâmpadas

Sistema de Equações

Reinaldo pagou R$ 40,40 na compra de 13 lâmpadas de 60w ou de 100w em certa loja,onde essas lâmpadas custam,respectivamente,R$ 2,65 e R$ 3,50 a unidade.Com base nessas informações,quantas lâmpadas de 100w foram compradas por Reinaldo?

a)11

b)10

c)9

d)8

e)7

Resposta:

x--->lampada de 60w

y---->lampada de 100w


[x + y =13 
[2,65x + 3,50y = 40,40 

[-2,65x-2,65y=-34,45
[2,65x+3,50y=40,40
-------------------------------------
0,85y = 5,95
y = 5,95 / 0,85
y = 7

Hora e minuto

Medidas Não-Decimais

273 minutos são equivalentes à:

a)4 horas 13 minutos e 20 segundos

b)4 horas 30 minutos e 3 segundos

c)4 horas 23 minutos e 10 segundos

d)4 horas 18 minutos e 15 segundos

e)4 horas e 33 minutos

Resposta:

1h------------->60minutos
xh------------->273minutos
logo vem:
60x = 273
x = 273 / 60
x = 4h e 33 minutos
letra e).

Operação com polinômios

Polinômios

Seja p(x) = x³+4x²+kx + (k-51), qual o valor de k sabendo que p(x) é divisível por x-1?

a)66

b)46

c)33

d)28

e)23

Resposta:

x-1= 0
x =1

p(1) = 1+4+k + (k-51) = 0
2k = 46
k = 23
letra e).

Na empresa onde trabalho

Sistema de Equações

No departamento onde trabalho há 56 funcionários e a razão entre o número de homens e mulheres que lá trabalham é de 5/3. Se num dia faltaram 3 mulheres e todos os homens compareceram,então naquele dia,quantos homens tinham a mais que as mulheres?

a)35

b)21

c)19

d)18

e)17

Resposta:

 x é o número de homens
y é o número de mulheres



[x + y = 56
[x/y = 5/3,logo: x = 5y/3,então vem: 


5y/3 + y = 56
5y + 3y = 168
8y = 168
y = 21,daí temos:
x = 5.21/3
x = 35
21 - 3 = 18 mulheres,estavam naquele dia,logo:
35 - 18 = 17 homens a mais que mulheres
letra e).

Capitalização composta

Percentagem

A que taxa devemos aplicar em R$ 66.000,00,para que  em 3 meses,rendam R$ 25.000,00 de juros em capitalização composta?

a)15,5%

b)14,4%

c)13,5%

d)12,4%

e)11,3%

Resposta:

M = C.(1 + i)^t, onde:

M---> montante
C----->capital
i---->taxa de juros
t--->tempo de aplicação
M = 66.000 + 25.000 = 91.000,00,logo vem:


 91.000 = 66.000(1 + i)³


(1 + i)³ = 91.000/66.000 
(1 + i )³ = 1,113
extraindo-se a raiz cúbica de ambos os membros,temos:
i = 0,113
i = 11,3%
letra e).

Percentual de pessoas que recebem água

Percentagem
Um reservatório de água é capaz de abastecer 78% da população de um município. Supondo que a população desse município aumente 50%, o mesmo reservatório será
capaz de abastecer:
a) 33% da população
b) 39% da população
c) 52% da população
d) 72% da população
e)117% da população

Resposta:

supondo uma população de 100 pessoas,então temos:
100 pessoas=======>78% é o que da para abastecer
150 pessoas=======> x%,logo  temos um aumento de pessoas e uma diminuição no percentual que pode ser abastecido:
x / 78 = 100 / 150
x / 78 = 10 / 15
15x = 780
x = 780 / 15
x = 52%
letra c).

Encontrando o perímetro

Geometria Plana

Em um triângulo retângulo de área 54cm², a diferença entre as medidas dos catetos é 3cm. Qual é o perímetro desse triângulo?

a)9cm

b)16cm

c)25cm

d)36cm

e)49cm

Resposta:

Sejam "b" e "c" as medidas dos catetos.

A área "S" é dada por: S = bc / 2
2p é o perímetro
2p = a + b + c
a é a hipotenusa
a² = b² + c²
Mas S = 54
54 = bc / 2
bc = 2 . (54)
bc = 108,mas:
 b - c = 3,assim :
 b = 3 + c
bc = 108
(3 + c) . c = 108
3c + c² = 108
c² + 3c - 108 = 0
c = 9 
 b = 3 + 9
b = 12,como:
a² = b² + c²,temos:
a² = (12)² + (9)²
a² = 144 + 81
a² = 225
a = 15,daí vem:
2p = a + b + c
a = 15 cm
b = 12 cm
c = 9 cm
2p = 15 + 12 + 9
2p = 36 cm
letra d).

As dimensões da folha

Sistema de Equações

Com uma folha de papel em forma retangular Rui observou o seguinte: dobrou a folha ao meio no comprimento e na largura, e na figura obtida encontrou 54cm de perímetro. Depois, a mesma folha, aberta, foi dobrada ao meio no comprimento e em 3 partes iguais na largura. Mediu novamente e encontrou 42cm de perímetro. Nessas condições:

a) a maior dimensão da folha tem 15cm

b)a dimensão maior é o triplo da dimensão é menor

c)o módulo da diferença entre as dimensões da folha é 12

d) a menor dimensão da folha  tem 18cm

e) a maior dimensão da folha tem 40cm

 
Resposta:
 
Comprimento da folha: C

Largura da folha: L
Depois da primeira dobra, Rui terá um retângulo de dimensões C/2 e L/2 , logo, o perímetro será dado por: 2.(C/2 + L/2) = C + L = 54.
Na segunda dobra, Rui terá outro retângulo de dimensões C/2 e L/3, assim, o perímetro será dado por: 2.(C/2 + L/3) = C + 2L/3 = 42,logo vem:
[C + L = 54
[C + 2L/3 = 42,mas:

C = 54 - L
54 - L + 2L/3 = 42
162 - 3L + 2L = 126
L = 36,então:
C = 54 - 36
C = 18
letra d).